探索 AdS₅中黑洞的热力学奥秘

在之前的学习中，我们对黑洞和量子引力有了不少了解，今天让我们聚焦AdS₅中黑洞的热力学特性，看看这里面藏着哪些有趣的物理现象和深刻的理论知识。

热态与黑洞：AdS/CFT 对偶下的联系

AdS/CFT 对偶为我们研究黑洞热力学提供了独特的视角。在这个理论框架下，CFT 中的热态和量子引力中的黑洞存在着紧密的对应关系。

我们知道，计算有限温度下理论的配分函数是研究热力学的重要途径。在 CFT 中，当我们考虑空间为\(\sum_{d - 1} \times S_{\beta}^{1}\)（这里\(\sum_{d - 1}\) 通常取\(S_{\ell}^{3}\) ，即一个大小为\(\ell\)的 3 - 球面，\(S_{\beta}^{1}\) 是大小为\(\beta\)的圆）时，其配分函数\(Z_{cft}[\phi_{0}; M]\) 与引力理论中在相应边界条件下的配分函数\(Z_{grav}[\phi_{0}; boundary = M]\) 相等，这就是\(Z_{cft}[\phi_{0}; M]=Z_{grav}[\phi_{0}; boundary = M]\) 这个等式的含义。这里的边界条件规定了体场的行为，比如场要满足\(\phi \sim r^{-d + \Delta}\phi_{0}(x)\)（当\(r \to \infty\) 时），度规要满足\(ds^{2} \to \frac{r^{2}}{\ell^{2}}dt_{E}^{2}+\frac{\ell^{2}}{r^{2}}dr^{2}+r^{2}d\Omega_{3}^{2}\) ，且\(t_{E} \sim t_{E}+\beta\) 。通过这个对偶关系，我们可以从引力理论的计算来理解 CFT 中的热力学性质，反之亦然。

引力自由能：不同解与相转变

要计算\(Z_{grav}[\beta]\) ，在实际操作中，精确计算量子引力路径积分是非常困难的，不过在半经典极限下，我们可以通过围绕经典解展开来近似计算。在纯引力的情况下，满足上述热边界条件的经典解有三种：小黑洞、大黑洞和热 AdS。

Schwarzschild - AdS 黑洞

我们先来看看 Schwarzschild - AdS 黑洞，它的度规为\(ds^{2}=fd t_{E}^{2}+\frac{dr^{2}}{f}+r^{2}d\Omega_{3}^{2}\) ，其中\(f = 1+\frac{r^{2}}{\ell^{2}}-\frac{\mu}{r^{2}}\) ，并且有\(t_{E} \sim t_{E}+\beta\) 的热标识。这里的\(\mu\) 是一个和质量相关的常数，通过\(f(r_{+}) = 0\) 可以找到黑洞的视界\(r_{+}\) ，它的表达式是\(r_{+}^{2}=\frac{\ell^{2}}{2}(-1+\sqrt{1+\frac{4\mu}{\ell^{2}}})\) 。从路径积分的角度来看，为了保证解的非奇异性，\(\beta\) 和\(r_{+}\) 之间存在特定的关系，通过圆锥缺陷技巧可以得到\(\beta=\frac{2\pi\ell^{2}r_{+}}{2r_{+}^{2}+\ell^{2}}\) ，进一步求解可得\(r_{+}=\frac{\pi\ell^{2}}{2\beta}[1 \pm \sqrt{1-\frac{2\beta^{2}}{\pi^{2}\ell^{2}}}] \) 。这里有两个有趣的点：一是\(\beta\) 存在一个最大值\(\beta_{max}=\frac{\ell\pi}{\sqrt{2}}\) ，也就是存在一个最低温度；二是对于给定的温度\(\beta\) ，会有两个不同的黑洞解，我们分别称之为小黑洞（对应公式中的减号）和大黑洞（对应加号），它们的分界点在\(r_{*}=\ell / \sqrt{2}\) 。

在计算自由能时，我们要用到爱因斯坦作用量，同时不能忽略边界项。完整的作用量包括爱因斯坦项、Gibbons - Hawking 边界项和用于消除发散的抵消项。经过一系列复杂的计算（这里面涉及到对体积分、边界项计算以及抵消项的选择等），最终得到的自由能是一个关于温度\(\beta\) 的函数。通过比较可以发现，大黑洞的自由能总是比小黑洞的低，所以在规范系综中，大黑洞是更主导的解。

我们还可以通过自由能来计算黑洞的能量和熵。能量\(E = -\partial_{\beta}\log Z\) ，得到的结果中包含与质量相关的项以及一个与质量无关的 Casimir 能量项，这个 Casimir 能量是由于将理论放在\(S^{3}\) 上而产生的，如果选择\(R^{3} \times S_{\beta}^{1}\) 边界条件，该项就会消失。熵\(S=(1 - \beta\partial_{\beta})\log Z\) ，它满足面积定律\(S = \frac{area}{4G_{N}}\) ，这再次验证了我们之前对黑洞熵的理解。

AdS热态

AdS热态 也是满足热边界条件的一个解，它的度规是\(ds^{2}=(1+\frac{r^{2}}{\ell^{2}})dt_{E}^{2}+\frac{dr^{2}}{1+\frac{r^{2}}{\ell^{2}}}+r^{2}d\Omega_{3}^{2}\) ，同样有\(t_{E} \sim t_{E}+\beta\) 。和 Schwarzschild - AdS 黑洞不同，这里的\(\beta\) 不是由度规中的某个参数决定的，它是一个自由参数。从洛伦兹 ian 的角度来看，热 AdS 和普通的 AdS 在经典解上是一样的，只是微扰场的状态不同， AdS热态 中的微扰场处于热平衡状态，但其能量很小，对几何没有明显的反作用。在计算热 AdS 的作用量时，最终得到的结果主要是 Casimir 项，这个结果可以用来计算其能量和熵。

Hawking - Page 相转变

小黑洞、大黑洞和热 AdS 这三种解的存在，引发了有趣的 Hawking - Page 相转变现象。因为大黑洞的自由能总是小于小黑洞的，所以在研究相图时，我们主要关注大黑洞和热 AdS。它们的作用量分别为\(I_{E}^{(bh)}(\beta)=\frac{\pi^{2}\beta}{8G_{N}\ell^{2}}[r_{+}^{2}\ell^{2}-r_{+}^{4}+\frac{3\ell^{4}}{4}]\) 和\(I_{E}^{(th)}(\beta)=\frac{\pi^{2}\beta}{8G_{N}\ell^{2}}(\frac{3\ell^{4}}{4})\) 。在半经典近似下，引力路径积分是这两个指数项的和，由于指数项的值非常大（量级为\(1 / G_{N}\) ），所以总和主要由较大的项决定。当\(I_{E}^{(th)} = I_{E}^{(bh)}\) 时，就会发生一个尖锐的（一阶）相转变，对应的临界温度\(\beta_{crit}=\frac{2\pi\ell}{3}\) ，此时的黑洞半径\(r_{+}^{crit}=\ell\) 。在低温阶段，热 AdS 是主导相；而在高温阶段，大黑洞成为主导相。这个相转变在不同维度的 AdS 空间中都存在（虽然在\(AdS_{3}\) 中有一些差异），它表明具有半经典引力描述的理论在低能量时状态数较少，而在高能量时状态数会急剧增加，有一个明显的转变。

大体积极限

当我们考虑理论在\(R^{3}\) 上的情况时，可以通过取\(\ell \to \infty\) 的极限来实现，这相当于将温度\(T \to \infty\) 。在这个极限下，自由能的表达式会发生变化，从之前的公式可以推导出\(F \approx -(\frac{\ell}{\ell_{P}})^{3}VT^{4}\) ，这里的\(V\) 是系统的体积。从共形不变性的角度来看，这个结果是符合预期的，因为在共形场论中，自由能与体积和温度的关系是\(F \sim VT^{d}\) （这里\(d = 4\) ）。而且在\(R^{3}\) 上，理论只有一个相，即黑洞相，不存在 Hawking - Page 相转变，因为它基本上一直处于高温相。

从黑洞热力学看 CFT 中的禁闭现象

AdS/CFT 对偶让我们可以从黑洞热力学的角度来理解 CFT 中的一些现象，其中禁闭现象就是一个很好的例子。

具有半经典全息对偶的 CFT，其热力学性质和我们前面讨论的黑洞热力学紧密相关。从微正则系综的熵来看，它反映了系统的能谱特性。我们发现，为了重现高能量态的高密度，CFT 必须有大量的自由度；但在低能量时，状态数又要很少，这和禁闭的概念非常相似。在\(SU(N)\) 规范理论中，禁闭相时物理状态是色单态强子，自由能\(F = O(1)\) ；而在解禁闭相时，状态是胶子，自由能\(F \sim O(N^{2})\) ，这和我们在 AdS/CFT 中得到的结果（扣除与温度无关的 Casimir 能量贡献后）是一致的。可以说，黑洞相类似于解禁闭相，而热 AdS 相类似于禁闭相。

不过，QCD 和像\(N = 4\) 超杨 - 米尔斯这样的全息理论还是有一些区别的。在 QCD 中，在无限体积（即理论在\(R^{3}\) 上）存在禁闭 / 解禁闭相转变，低温时是禁闭相，高温时是解禁闭相。但根据我们前面关于 AdS/CFT 的研究，\(N = 4\) 超杨 - 米尔斯理论（在强耦合下）在\(R^{3}\) 上并没有传统意义上的禁闭相，因为 CFT 在\(R^{3}\) 上，温度可以通过尺度变换消除，一般不会出现相转变（除非引入其他参数，如化学势）。但在球面上，\(N = 4\) 超杨 - 米尔斯理论在\(N \to \infty\) 的极限下，会出现类似禁闭 / 解禁闭的转变，不过这种禁闭和 QCD 中的禁闭机制不同，它是由 Gauss 定律约束导致的 “运动学禁闭” ，使得球面上的物理状态不能带有净色荷。

我们还可以通过定义时间 Wilson 环\(W = Tr \exp \oint A\) （积分是在围绕热时间圈的世界线上进行）来研究这个转变，它是解禁闭转变的一个序参量。当\(\langle W\rangle \neq 0\) 时，意味着处于解禁闭相，也就是黑洞相；当\(\langle W\rangle = 0\) 时，则处于禁闭相，即热 AdS 相。从引力的角度计算 Wilson 环时，规则是找到一个终止于 Wilson 线并延伸到体中的弦世界面，通过这个经典弦图可以计算大\(N\) 时 Wilson 环的主导贡献。在欧几里得黑洞中，因为\((t_{E}, r)\) 形成一个圆盘，很容易找到这样的弦世界面；而在热 AdS 中，由于热圈不可收缩（\((t_{E}, r)\) 形成一个圆柱），找不到这样的弦世界面，所以 Wilson 线消失。这就表明，解禁闭相在对偶几何中对应着热圈可收缩的情况，而禁闭相则对应热圈不可收缩的情况。

弱耦合与强耦合下的自由能比较

在研究 CFT 的自由能时，我们发现目前还无法直接计算\(N = 4\) 超杨 - 米尔斯理论的自由能并与 AdS/CFT 的结果进行精确比较。这是因为引力计算对应的是\(N = 4\) 超杨 - 米尔斯理论在非常强的‘t Hooft 耦合（\(\lambda \equiv g_{YM}^{2}N \to \infty\) ）下的情况，而自由能并不受超对称性保护，在强耦合下的计算非常困难。

不过，我们可以在弱耦合的情况下对 CFT 进行计算。弱耦合 QFT 的自由能可以通过单圈计算得到，也就是计算每个场的行列式。这个计算结果和引力计算的结果在定性上是一致的，但定量上存在差异。比如，对于自由的\(N = 4\) 超杨 - 米尔斯理论在\(R^{3}\) 上的情况，计算得到的自由能\(F_{free}=\frac{4}{3}F_{gravity}\) ，这里的\(F_{gravity}\) 是前面通过引力计算得到的结果。这表明强耦合和弱耦合下的自由能是不同的。

从理论上来说，自由能是耦合常数的函数\(F = -f(\lambda)\frac{\pi^{2}}{6}N^{2}VT^{4}\) 。我们现在知道\(f(\lambda)\) 在\(\lambda \to 0\) 和\(\lambda \to \infty\) 时的行为，并且可以计算一些修正项。在 CFT 这边，修正是通过更高圈图计算得到的；在引力这边，则是通过包含高曲率（弦理论相关）对经典作用量的贡献来计算修正项。虽然目前还不知道完整的\(f(\lambda)\) 函数形式，但这些修正项的计算结果表明我们的研究方向是正确的。

AdS₅中黑洞的热力学为我们打开了一扇深入理解 CFT 和量子引力的大门，其中的相转变、禁闭现象以及自由能的研究，都让我们看到了这两个领域之间复杂而又美妙的联系，还有许多未知等待我们去探索和发现。

探秘 AdS/CFT 对应：量子引力与共形场论的奇妙对偶

在探索量子引力和共形场论的征程中，AdS/CFT 对应是一个极为关键的概念，它为我们理解这两个看似不同领域之间的深层联系提供了有力的工具。今天，就让我们深入到 “14 The Statement of AdS/CFT” 这部分内容，一探究竟。

AdS/CFT 对应之 “字典” 解读

AdS/CFT 对应就像是一本神奇的 “字典”，帮助我们在量子引力理论（生活在反德西特空间，即 AdS）和共形场论（CFT）之间自由转换。为了更好地理解这本 “字典”，我们先选择在欧几里得 AdSd + 1 空间中的坐标：\(ds^{2}=\frac{\ell^{2}}{z^{2}}(dz^{2}+dx^{2})\)，这里的边界位于\(z = 0\)处。

在这个对应关系里，有一个核心公式 ——GKPW 字典：\(Z_{grav}[\phi_{0}^{i}(x); \partial M]=\langle\exp(-\sum_{i}\int d^{d}x\phi_{0}^{i}(x)O^{i}(x))\rangle_{CFT on \partial M}\)。这个公式可太重要啦！左边的\(Z_{grav}\)代表着渐近 AdS 空间中的引力配分函数，它是通过我们之前在黑洞热力学中讨论过的路径积分来计算的。不过，由于 AdS 有边界，所以在计算时得给边界条件，就像给一个谜题设定规则一样。对于体标量场，边界条件是\(\phi^{i}(z, x)=z^{d - \Delta}\phi_{0}^{i}(x)+ subleading\)（当\(z \to 0\)时），这里面的质量\(m\)和 CFT 算子的标度维度\(\Delta\)还有关系呢，\(m^{2}=\Delta(d - \Delta)\)，\(\Delta=\frac{d}{2}+\sqrt{\frac{d^{2}}{4}+m^{2}\ell^{2}}\) 。而且，这个边界条件其实是体标量场波动方程的主要解。对于其他的体场，包括度规，也都有类似的边界条件，只是会根据场的自旋有所调整。

再看公式右边，它是 CFT 中关联函数的生成泛函。这里的\(\phi_{0}^{i}(x)\)是源，就像是给 CFT “喂” 进去的信息，而\(O^{i}(x)\)是 CFT 算子。通过对这个生成泛函求导，就能得到各种关联函数，比如\(\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\rangle_{CFT} \sim \frac{\delta^{n}}{\delta \phi_{0}^{1}(x_{1})\cdots \delta \phi_{0}^{n}(x_{n})}Z_{cft}[\phi_{0}]\big|_{\phi_{0}^{i}=0}\)，这就好比从一个 “魔法盒子” 里掏出我们想要的关联函数信息。

在这个对应关系中，每个体场都和 CFT 中的一个局部算子对应。比如说，体标量场\(\chi(z, x)\)和 CFT 中的标量算子对偶，在之前推导黑弦吸收截面的时候，我们就用到了这种关系，边界值\(\chi\)就像是 CFT 中的一个 “信号源” 。还有引力子，它是每个引力理论中都有的无质量自旋 - 2 粒子，和 CFT 中的应力张量\(T_{\mu\nu}\)对偶，这很好理解，因为每个 CFT 都有应力张量，而且引力子的无质量特性和 CFT 应力张量的守恒性质相对应，同时也确定了应力张量的标度维度\(\Delta_{T}=d\) 。如果引力理论中有自旋 - 1 的矢量场\(A_{\mu}\)，那么在 CFT 中就会有自旋 - 1 的算子\(J_{\mu}\)与之对偶，如果\(A_{\mu}\)是无质量的，\(\Delta_{J}=d - 1\) ，并且\(J_{\mu}\)是守恒流；否则，\(\Delta_{J}>d - 1\) ，电流就不守恒啦。这里还体现了 AdS/CFT 的一个重要特点：体中的规范对称性对应着 CFT 中的全局对称性。

值得注意的是，CFT 是 UV 完备的，这意味着 AdS/CFT 对应其实给出了一个非微扰的、UV 完备的量子引力理论定义，是不是很神奇？从一个没有引力的 QFT 出发，居然能定义出引力理论！

实例解析：IIB 弦理论与\(N = 4\)超杨 - 米尔斯理论

为了让大家更直观地感受 AdS/CFT 对应，我们来看一个具体的例子：IIB 弦理论和\(N = 4\)超杨 - 米尔斯理论的对偶。

先看弦理论这边，它有几个重要的尺度参数，像\(\ell \equiv \ell_{AdS}\)（AdS 半径）、普朗克尺度\(\ell_{P}\)和弦尺度\(\ell_{s}\) 。在低能情况下，它的有效作用量包含爱因斯坦项、物质项，还有被弦尺度抑制的高曲率修正项，\(S_{IIB} \sim \frac{1}{G_{N}}\int \sqrt{g}(R + L_{matter}+\ell_{s}^{4}R^{4}+\cdots)\) 。这里的弦态质量大约是\(1 / \ell_{s}^{2}\) ，所以在能量低于这个值的时候，它就像我们一开始讲的普通有效场理论。

再瞧瞧\(N = 4\)超杨 - 米尔斯理论，这是一个在 4 维空间的高度超对称规范理论。它的物质内容由超对称性唯一确定，是一个\(SU(N)\)规范场，再加上超对称性要求的所有物质场，这些物质场包含在伴随表示中的矩阵值标量场，和我们平常在 QCD 里遇到的基本表示可不一样哦。这个规范理论有两个无量纲参数，\(N\)（也就是\(SU(N)\)的大小）和杨 - 米尔斯耦合常数\(g_{YM}\) ，它们组合成的\(\lambda = g_{YM}^{2}N\)，叫做‘t Hooft 耦合。在大\(N\)的情况下，规范理论的展开参数是\(\lambda\)和\(1/N\) ，而不是\(g_{YM}\)和\(1/N\) ，这是因为有\(N\)个场在圈图里跑动，改变了展开的 “节奏”。

这两个理论之间的映射关系也很有趣，\(\lambda \sim (\frac{\ell_{AdS}}{\ell_{string}})^{4}\) ，\(\frac{\ell_{AdS}^{d - 1}}{G_{N}} \sim (\frac{\ell_{AdS}}{\ell_{P}})^{d - 1} \sim N^{2}\) （这里都有已知的系数哦）。这种对偶是一种强 / 弱对偶，也就是说，当弦理论这边计算起来比较简单（半经典爱因斯坦引力，要求\(N \gg 1\)且\(\lambda \gg 1\) ）的时候，CFT 那边就会很强耦合，计算变得困难；反过来，当 CFT 弱耦合时，弦理论这边的弦 / 高曲率修正就不能忽略，也和普通引力表现得很不一样。

构建良好对偶的条件与全息原理

并不是所有的 CFT 和引力理论都能形成良好的 AdS/CFT 对偶，这里面是有要求的。

首先，CFT 得是强耦合的。要是 CFT 弱耦合，就会出现太多的算子。比如说，一个自由标量场\(\psi\)就能导致各种整数自旋的守恒流，像\(\psi \partial_{\mu}\psi\)，\(\psi \partial_{\mu}\partial_{\nu}\psi\)等等。从引力的角度看，这就意味着需要很多无质量或非常轻的高自旋态，这在我们的低能有效场理论里可不多见。所以，我们要求 CFT 有一个稀疏的低维算子谱，就像一个有 “大间隙” 的能量谱，把低能场和高能的弦理论部分隔开。不过，也不是所有强耦合理论都能满足这个条件，有些强耦合理论没有这样的 “间隙”，也就没有好的引力对偶。

其次，\(N_{dof}\)得足够大。在超杨 - 米尔斯的例子里，我们知道\(G_{N} \sim 1 / N^{2}\) ，为了让引力弱耦合，就需要大量的自由度。从两个方面可以理解这一点：一方面，黑洞熵\(S \propto 1 / G_{N}\) ，非常大，而熵是态密度的对数，这就意味着全息 CFT 在高能量时必须有大量的简并态，也就是有很多自由度。比如说，一个由\(N_{b}\)个自由玻色子组成的 2 维 CFT，它的熵\(S(E) \propto \sqrt{N_{b}E}\) 。另一方面，我们可以通过看应力张量的两点函数来大致衡量自由度。在共形不变性的约束下，应力张量的两点函数\(\langle T_{\mu\nu}(x)T_{\alpha\beta}(y)\rangle = c \times (已知函数 of x, y)\)，这里的系数\(c\)在一定程度上反映了自由度。很多自由场的应力张量相加，会让总的应力张量两点函数变得很大。在引力中，应力张量和引力子对偶，我们之后会详细讨论如何计算关联函数，现在知道\(\langle TT\rangle_{cft}\)和引力子散射实验\(\langle gg\rangle_{gravity} \sim 1 / G_{N}\)有关，所以\(c \sim 1 / G_{N}\) ，这又说明了弱耦合引力需要大量的自由度。

这里其实存在一个矛盾，我们既想要大量的自由度来满足引力弱耦合和高能量态的要求，又希望低能量态的数量少一些，这就有点像要求 CFT 是禁闭的：高能量时有很多态，低能量时夸克被禁闭，态就很少。后面我们会看到，黑洞热力学和禁闭之间有着很直接的联系。

很多年前，Bekenstein 提出了一个猜想：一个空间区域能容纳的最大熵等于相应黑洞的熵，也就是\(S_{max}=\frac{area}{4G_{N}}\) ，这就是著名的 Bekenstein bound。这个猜想的背后逻辑很简单，如果一个区域里的物质熵\(S_{stuff}\)大于黑洞熵\(S_{blackhole}\) ，那再加点东西就会形成黑洞，而这个过程中系统的熵会减少，这可违反了热力学第二定律，所以就需要这样一个上限。这个 bound 启发了人们，让大家意识到量子引力理论可能隐藏在比我们观测到的时空更少的维度里，而 AdS/CFT 对应正好实现了这个想法，这就是全息原理。

AdS/CFT 对应是一个充满奥秘和潜力的领域，它让我们看到了量子引力和共形场论之间千丝万缕的联系，无论是从理论公式，还是具体实例，又或是对偶条件和背后的原理，都值得我们不断深入研究和探索。希望今天的分享能让大家对这部分内容有更清晰的认识，一起在这个神奇的物理世界里继续前行！