重整化群

Fuping posted @ 2025年4月19日 22:30 in 未分类 , 13 阅读

重整化群（RG）理论

 
其核心思想是通过积分掉高能模式，研究有效作用量和配分函数在不同能量尺度下的不变性。核心内容包括：配分函数 \(Z(g_i(\mu); \mu)\) 因耦合常数 \(g_i(\mu)\) 随尺度 “跑动” 而保持不变，导出重整化群方程，即配分函数对尺度的全导数为零；定义β 函数 \(\beta_i := \Lambda \partial g_i / \partial \Lambda\) 描述耦合的尺度依赖性，引入反常维度 \(\gamma_\phi\) 刻画波函数重整化的量子效应；讨论RG 流与临界现象，指出存在高斯临界等固定点，相关 / 无关算符决定理论在红外区域的行为，普适性源于低能下无关算符被抑制，仅少数相关算符主导。

一、重整化群（RG）的基本思想

  1. 多尺度问题处理
    • 核心：通过积分掉高能模式（动量在 \((\Lambda, \Lambda_0]\) 区间的场 \(\chi\)），构建低能有效理论，描述剩余低能模式 \(\phi\) 的行为。
    • 物理意义：解释为何低能物理可独立于高能细节（如水中分子、夸克等高能自由度不影响低能现象）。
  1. 配分函数的尺度不变性
    • 定义：初始配分函数 \(\mathcal{Z}_{\Lambda_0}(g_{i0}) = \int_{|\mathbf{p}| \leq \Lambda_0} \mathcal{D}\varphi e^{-S_{\Lambda_0}[\varphi]/\hbar}\)，低能配分函数 \(\mathcal{Z}_{\Lambda}(g_i(\Lambda)) = \int_{|\mathbf{p}| \leq \Lambda} \mathcal{D}\phi e^{-S_{\Lambda}^{\text{eff}}[\phi]/\hbar}\)。
    • 不变性：\(\mathcal{Z}_{\Lambda}(g_i(\Lambda)) = \mathcal{Z}_{\Lambda_0}(g_{i0}; \Lambda_0)\)，因仅积分掉高能模式，剩余低能积分一致。
二、配分函数的重整化群方程（RG 方程）
  1. 推导逻辑
    • 配分函数对尺度 \(\Lambda\) 的全导数为零（尺度不变性）：
\( \frac{dZ}{d\Lambda} = \sum_i \frac{\partial Z}{\partial g_i} \frac{dg_i}{d\Lambda} = 0 \)
 
    • 展开为微分方程：\(\frac{dZ(g)}{d\Lambda} + \sum_i \frac{dg_i(\Lambda)}{d\Lambda} \frac{\partial}{\partial g_i} Z(g) = 0\)，即Callan-Symanzik 方程的特例。
  1. 物理意义
    • 耦合常数 \(g_i(\Lambda)\) 随尺度 “跑动”，补偿自由度减少的影响，确保配分函数与尺度无关（仅需低于初始截断 \(\Lambda_0\)）。
三、跑动耦合与 β 函数（β-Function）
  1. 耦合的尺度依赖性
    • 有效作用量 \(S_{\Lambda}^{\text{eff}}[\phi]\) 包含跑动耦合 \(g_i(\Lambda)\)，如：
\( S_{\Lambda}^{\text{eff}} = \int d^d x \left[\frac{Z_\Lambda}{2}(\partial\phi)^2 + \sum_i \Lambda^{d-d_i} Z_\Lambda^{n_i/2} g_i(\Lambda) \mathcal{O}_i(x)\right] \)
 
    • β 函数定义：\(\beta_i := \Lambda \frac{\partial g_i}{\partial \Lambda}\)，描述耦合随尺度的变化率，含经典项（\((d_i - d)g_i\)）与量子修正项（\(\beta_i^{\text{quant}}\)）。
  1. 例：精细结构常数
    • 电磁耦合 \(\alpha \approx 1/137\) 随能量尺度变化，体现 RG 跑动。
四、反常维度（Anomalous Dimension）与波函数重整化
  1. 波函数重整化因子 \(Z_\Lambda\)
    • 动能项系数的量子修正，源于积分高能模式对场算符的影响。
    • 重定义场 \(\varphi = Z_\Lambda^{1/2} \phi\)，使动能项规范归一化。
  1. 反常维度 \(\gamma_\phi\)
    • 定义：\(\gamma_\phi := -\frac{1}{2} \Lambda \frac{\partial \ln Z_\Lambda}{\partial \Lambda}\)，刻画场的标度维度偏离经典值的量子效应。
    • 场的标度维度：\(\Delta_\phi = \frac{d-2}{2} + \gamma_\phi\)，经典值为 \((d-2)/2\)，反常维度为修正项。
五、RG 流与临界现象
  1. 临界固定点（Critical Point）
    • 高斯临界点点：自由理论（\(g_i^* = 0\)），β 函数全为零，尺度不变。
    • Wilson-Fisher 临界点点：通过 \(\varepsilon = 4 - d\) 展开，描述低维（如 \(d=3\)）相互作用理论的临界行为。
  1. 相关 / 无关 / 边际算符
    • 相关算符（\(\Delta_i < d\)）：低能下耦合增强，驱动理论远离临界点点（如质量项 \(\phi^2\)）。
    • 无关算符（\(\Delta_i > d\)）：低能下耦合抑制，不影响红外行为（如高次项 \(\phi^6\) 在 \(d=4\)）。
    • 边际算符（\(\Delta_i = d\)）：经典尺度不变，量子效应可能使其弱相关或无关（如 \(d=4\) 的 \(\phi^4\) 项）。
  1. 普适性（Universality）
    • 不同高能理论因无关算符被抑制，红外行为由少数相关算符决定，属于同一普适类。
    • 例：临界表面上的理论流向同一临界点点，微观不同但宏观低能行为一致。
六、连续极限与反项（Counterterms）
  1. 去除截断 \(\Lambda_0 \to \infty\)
    • 调谐初始耦合至临界表面，使无关算符被抑制，理论在连续极限下有限。
    • 引入反项 \(S_{\text{CT}}\) 抵消紫外发散，确保低能预测与截断无关。
  1. 应用
    • QCD、电弱理论通过调谐相关算符，定义连续量子场论。
七、RG 演化的计算方法
  1. 波尔钦斯基方程（Polchinski's Equation）
    • 微扰论下，积分 infinitesimal 高能模式的微分方程：
\( -\Lambda \frac{\partial S_{\Lambda}^{\text{int}}}{\partial \Lambda} = \int d^d x d^d y \left[\frac{\delta S_{\Lambda}^{\text{int}}}{\delta \phi(x)} D_\Lambda(x,y) \frac{\delta S_{\Lambda}^{\text{int}}}{\delta \phi(y)} - D_\Lambda(x,y) \frac{\delta^2 S_{\Lambda}^{\text{int}}}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\right] \)
 
    • 描述有效相互作用的尺度演化，含传播子 \(D_\Lambda\) 与顶点修正。
  1. 局域势近似（Local Potential Approximation）
    • 忽略导数算符，聚焦势能 \(V(\varphi) = \sum_k \Lambda^{d-k(d-2)} \frac{g_{2k}}{(2k)!} \varphi^{2k}\)，导出 β 函数如：
\( \Lambda \frac{dg_2}{d\Lambda} = -2g_2 - \frac{a g_4}{1 + g_2}
 

八、关键表格：不同维度下的相关与边际算符

维度 \(d\)
相关算符（\(\Delta_i < d\)）
边际算符（\(\Delta_i = d\)）
\(d=2\)
\(\phi^{2k}\)（所有 \(k \geq 0\)）
\((\partial\phi)^2\)，\(\phi^{2k}(\partial\phi)^2\)
\(d=3\)
\(\phi^2\)，\(\phi^4\)
\((\partial\phi)^2\)，\(\phi^6\)
\(d=4\)
\(\phi^2\)（\(k \leq 3\)）
\((\partial\phi)^2\)，\(\phi^4\)
\(d>4\)
\(\phi^2\)（低次项）
\((\partial\phi)^2\)

1. 重整化群方程的物理本质是什么？

答案：重整化群方程的本质是配分函数在不同能量尺度下的不变性。当积分掉高能模式时，有效作用量中的耦合常数 \(g_i(\mu)\) 随尺度 “跑动”，以补偿自由度减少的影响，确保配分函数 \(Z(g_i(\mu); \mu)\) 与尺度无关。方程 \(\frac{dZ}{d\mu} + \sum_i \frac{dg_i}{d\mu}\frac{\partial Z}{\partial g_i} = 0\) 体现了这种不变性，即耦合的跑动速率与配分函数对耦合的依赖必须满足全导数为零的条件，是保持理论在不同尺度下一致性的核心约束。

2. β 函数如何描述耦合常数的尺度依赖性？

答案：β 函数 \(\beta_i := \Lambda \frac{\partial g_i}{\partial \Lambda}\) 定量描述了耦合常数 \(g_i\) 随能量尺度 \(\Lambda\) 的变化率。它包含两部分：
  • 经典项（如 \((d_i - d)g_i\)）：补偿作用量中显式的尺度因子（如 \(\Lambda^{d-d_i}\)），确保耦合无量纲。
  • 量子修正项（\(\beta_i^{\text{quant}}\)）：源于积分高能模式的量子效应，反映相互作用对耦合的修正（如 \(\phi^4\) 理论中，量子修正导致 \(\beta_4 \propto g_4^2\)）。通过 β 函数，可判断耦合在低能（红外）是增强（相关算符，\(\beta_i < 0\)）还是抑制（无关算符，\(\beta_i > 0\)），是研究 RG 流的核心工具。

3. 为什么不同高能理论在低能下会表现出普适性？

答案：普适性源于无关算符在低能下被抑制，仅少数相关算符主导。当降低能量尺度时：
  • 无关算符（标度维度 \(\Delta_i > d\)）的耦合随 \(\Lambda\) 降低而减小（如 \(\propto (\Lambda/\Lambda_0)^{\Delta_i - d}\)），最终可忽略。
  • 相关算符（\(\Delta_i < d\)）的耦合增强，决定低能理论的行为。因此，尽管高能理论的微观细节不同（如不同的高能自由度或相互作用项），但低能下仅需考虑少数相关算符，导致同一普适类的理论在红外区域行为一致。例如，临界表面上的理论流向同一临界点点，宏观物理性质（如临界指数）相同，与高能细节无关。
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