在弦理论中，基本研究对象从点粒子转变为一维扩展弦。与点粒子在时空中形成世界线不同，弦运动时会扫出一个 (1 + 1) 维的世界面。该世界面由固有时间\(\tau\)和空间坐标\(\sigma\)（\(\sigma\in[0,\sigma_0]\) ）进行参数化，其在 D 维闵可夫斯基时空（度规为\(\eta_{MN}\) ）的嵌入过程通过函数\(X^M(\tau, \sigma)\)来描述。弦分为闭弦（世界面呈圆柱面）和开弦（世界面为带状）两种类型。
描述弦的最简单参数化不变作用量是 Nambu–Goto 作用量：
\(S_{NG} = -\frac{1}{2\pi\alpha'} \int_{\Sigma} d^2\sigma \sqrt{-\det(\partial_{\alpha}X^M\partial_{\beta}X^N\eta_{MN})}\)
其中\(d^2\sigma = d\sigma^0d\sigma^1\) ，\((\sigma^0, \sigma^1) \equiv (\tau, \sigma)\)，\(\alpha'\)与弦长\(l_s\)的关系为\(\alpha' = l_s^2\)，\(\tau_F = \frac{1}{2\pi\alpha'}\)是基本弦的张力。但此作用量因含平方根，处理及量子化过程复杂。
为简化研究，引入世界面度规\(h_{\alpha\beta}(\sigma)\)作为辅助场，得到 Polyakov 作用量：
\(S_P = -\frac{1}{4\pi\alpha'} \int_{\Sigma} d^2\sigma \sqrt{-h} h^{\alpha\beta} \partial_{\alpha}X^M \partial_{\beta}X^N \eta_{MN}\)
其中\(h = \det(h_{\alpha\beta})\)，\(h^{\alpha\beta}\)是\(h_{\alpha\beta}\)的逆矩阵。由\(\delta S_P / \delta h_{\alpha\beta} = 0\)能推导出世界面能量 - 动量张量\(T_{\alpha\beta} = 0\)，即 Virasoro 约束。该约束可消去 Polyakov 作用量中的世界面度规，从而得到 Nambu - Goto 作用量，表明二者在经典层面等价。因 Polyakov 作用量便于量子化，成为后续研究的主要工具。
Polyakov 作用量具有三种对称性：在 D 维庞加莱变换\(X^M \to X'^M = \Lambda^M_N X^N + a^M\)（\(\Lambda^M_N\)为洛伦兹变换，\(a^M\)为时空平移）且\(\delta h_{\alpha\beta} = 0\)下不变；在世界面重参数化\(\sigma^{\alpha} \to \sigma'^{\alpha} = f^{\alpha}(\sigma)\)，\(h_{\alpha\beta}(\tau, \sigma)\)和\(X^M(\tau, \sigma)\)按\(h_{\alpha\beta}(\tau, \sigma) = \frac{\partial f^{\gamma}}{\partial \sigma^{\alpha}} \frac{\partial f^{\delta}}{\partial \sigma^{\beta}} h_{\gamma\delta}(\tau', \sigma')\)和\(X'^M(\tau', \sigma') = X^M(\tau, \sigma)\)变换时不变；在外尔变换\(h_{\alpha\beta}(\tau, \sigma) \to e^{2\omega(\tau, \sigma)} h_{\alpha\beta}(\tau, \sigma)\)且\(X'^M(\tau, \sigma) = X^M(\tau, \sigma)\)下保持不变。
利用这些局部对称性，选取共形规范\(h_{\alpha\beta} = e^{2\omega(\tau, \sigma)} \eta_{\alpha\beta}\)（\(\eta_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\) ），此时 Polyakov 作用量简化为：
\(S_P = \frac{1}{4\pi\alpha'} \int d^2\sigma (\partial_{\tau}X^M \partial_{\tau}X^N - \partial_{\sigma}X^M \partial_{\sigma}X^N) \eta_{MN}\)
\(X^M(\tau, \sigma)\)满足相对论波动方程\((\partial^2_{\tau} - \partial^2_{\sigma})X^M = \partial_+\partial_-X^M = 0\)（引入光锥坐标\(\sigma^{\pm} = \tau \pm \sigma\)及导数\(\partial_{\pm} = \partial / \partial\sigma^{\pm}\) ），并需补充边界条件\(\partial_{\sigma}X^M \delta X^M |_0^{\sigma_0} = 0\)，以及共形规范下的 Virasoro 约束条件\(T_{++} = \partial_+X^M \partial_+X^M = 0\)，\(T_{--} = \partial_-X^M \partial_-X^M = 0\)，\(T_{+-} = T_{-+} = 0\) 。
在闵可夫斯基时空中，弦的能谱（string spectrum）通过经典弦解的模式分解和量子化条件确定，主要分为**开弦**和**闭弦**两种类型，具体如下： ### 一、经典弦模式分解 弦的时空坐标 \(X^M(\tau, \sigma)\) 可分解为**左行模**和**右行模**，分别依赖于光锥坐标 \(\sigma^\pm = \tau \pm \sigma\)： \[ X^M(\tau, \sigma) = X^M_{(L)}(\sigma^+) + X^M_{(R)}(\sigma^-) \] - **左行模** \(X^M_{(L)}(\sigma^+)\) 和 **右行模** \(X^M_{(R)}(\sigma^-)\) 各自展开为傅里叶级数： \[ X^M_{(L)}(\sigma^+) = \frac{\tilde{x}^M_0}{2} + \frac{\alpha'}{2} \tilde{p}^M \sigma^+ + i\frac{\sqrt{\alpha'}}{2} \sum_{n \neq 0} \frac{\tilde{\alpha}^M_n}{n} e^{-in\sigma^+} \] \[ X^M_{(R)}(\sigma^-) = \frac{x^M_0}{2} + \frac{\alpha'}{2} p^M \sigma^- + i\frac{\sqrt{\alpha'}}{2} \sum_{n \neq 0} \frac{\alpha^M_n}{n} e^{-in\sigma^-} \] 其中，\(x^M_0, \tilde{x}^M_0\) 为质心位置，\(p^M, \tilde{p}^M\) 为动量，\(\alpha^M_n, \tilde{\alpha}^M_n\) 为振荡模算符，满足实数条件 \(\alpha^M_{-n} = (\alpha^M_n)^*\) 和 \(\tilde{\alpha}^M_{-n} = (\tilde{\alpha}^M_n)^*\)。 ### 二、边界条件与弦类型 1. **开弦（Open String）** - **边界条件**：端点固定（如 \(X^M(\tau, 0) = X^M(\tau, \pi) = \text{固定}\)），导致振子模满足 \(\alpha^M_n = \tilde{\alpha}^M_n\)（左右行模相同）。 - **动量量子化**：动量 \(p^M = \frac{1}{\alpha'} (n, \vec{p})\)，其中 \(n\) 为整数，\(\vec{p}\) 为空间动量。 - **质量平方公式**： \[ M^2 = \frac{1}{\alpha'} \left( \sum_{n=1}^\infty \alpha^M_{-n} \alpha^M_n - a \right) \] 其中 \(a\) 为截距（如玻色弦 \(a=1\)，超弦 \(a=0\)），最低激发态为无质量规范玻色子（如光子）和有质量态。 2. **闭弦（Closed String）** - **边界条件**：周期性条件 \(X^M(\tau, 0) = X^M(\tau, 2\pi)\)，要求左行和右行动量相等 \(p^M = \tilde{p}^M\)，振子模独立（\(\alpha^M_n \neq \tilde{\alpha}^M_n\)）。 - **质量平方公式**： \[ M^2 = \frac{1}{\alpha'} \left( \sum_{n=1}^\infty \alpha^M_{-n} \alpha^M_n - a \right) = \frac{1}{\alpha'} \left( \sum_{n=1}^\infty \tilde{\alpha}^M_{-n} \tilde{\alpha}^M_n - a \right) \] 最低激发态为无质量态，包括**引力子**（\(h_{\mu\nu}\)）、**规范玻色子**（\(B_{\mu\nu}\)）和** dilaton**（\(\phi\)）。 ### 三、量子化与物理态条件 - **对易关系**：振子算符满足 \([\alpha^M_m, \alpha^N_n] = m \delta_{m+n,0} \eta^{MN}\)，确保能量动量守恒。 - **Virasoro 约束**：物理态需满足 \(L_0 = \tilde{L}_0\) 和 \(L_n = \tilde{L}_n = 0\)（\(n \neq 0\)），其中 \(L_0 = \frac{\alpha'}{4} p^2 + \sum_{n=1}^\infty \alpha_{-n} \cdot \alpha_n\)，排除负规范态。 - **无质量态**： - 开弦：规范玻色子（如光子，对应 \(n=1\) 态）。 - 闭弦：引力子（自旋 \(s=2\)）、规范场（自旋 \(s=1\)）和 dilaton（自旋 \(s=0\)），对应 \(n=0\) 振子激发。 ### 四、核心结论 闵可夫斯基时空中的弦谱通过**模式分解**和**边界条件**确定，开弦与闭弦的谱结构差异源于边界条件的不同（端点固定 vs. 周期性）。量子化后，弦的质量平方由振子模和截距决定，最低激发态包含无质量粒子（如引力子、规范玻色子），是弦理论统一描述基本粒子和引力的关键。Virasoro 约束确保态的物理性，排除非物理自由度，为弦理论的一致性提供基础。
在闵可夫斯基时空中，弦的能谱（string spectrum）通过经典弦解的模式分解和量子化条件确定，主要分为**开弦**和**闭弦**两种类型，具体如下： ### 一、经典弦模式分解 弦的时空坐标 \(X^M(\tau, \sigma)\) 可分解为**左行模**和**右行模**，分别依赖于光锥坐标 \(\sigma^\pm = \tau \pm \sigma\)： \[ X^M(\tau, \sigma) = X^M_{(L)}(\sigma^+) + X^M_{(R)}(\sigma^-) \] - **左行模** \(X^M_{(L)}(\sigma^+)\) 和 **右行模** \(X^M_{(R)}(\sigma^-)\) 各自展开为傅里叶级数： \[ X^M_{(L)}(\sigma^+) = \frac{\tilde{x}^M_0}{2} + \frac{\alpha'}{2} \tilde{p}^M \sigma^+ + i\frac{\sqrt{\alpha'}}{2} \sum_{n \neq 0} \frac{\tilde{\alpha}^M_n}{n} e^{-in\sigma^+} \] \[ X^M_{(R)}(\sigma^-) = \frac{x^M_0}{2} + \frac{\alpha'}{2} p^M \sigma^- + i\frac{\sqrt{\alpha'}}{2} \sum_{n \neq 0} \frac{\alpha^M_n}{n} e^{-in\sigma^-} \] 其中，\(x^M_0, \tilde{x}^M_0\) 为质心位置，\(p^M, \tilde{p}^M\) 为动量，\(\alpha^M_n, \tilde{\alpha}^M_n\) 为振荡模算符，满足实数条件 \(\alpha^M_{-n} = (\alpha^M_n)^*\) 和 \(\tilde{\alpha}^M_{-n} = (\tilde{\alpha}^M_n)^*\)。 ### 二、边界条件与弦类型 1. **开弦（Open String）** - **边界条件**：端点固定（如 \(X^M(\tau, 0) = X^M(\tau, \pi) = \text{固定}\)），导致振子模满足 \(\alpha^M_n = \tilde{\alpha}^M_n\)（左右行模相同）。 - **动量量子化**：动量 \(p^M = \frac{1}{\alpha'} (n, \vec{p})\)，其中 \(n\) 为整数，\(\vec{p}\) 为空间动量。 - **质量平方公式**： \[ M^2 = \frac{1}{\alpha'} \left( \sum_{n=1}^\infty \alpha^M_{-n} \alpha^M_n - a \right) \] 其中 \(a\) 为截距（如玻色弦 \(a=1\)，超弦 \(a=0\)），最低激发态为无质量规范玻色子（如光子）和有质量态。 2. **闭弦（Closed String）** - **边界条件**：周期性条件 \(X^M(\tau, 0) = X^M(\tau, 2\pi)\)，要求左行和右行动量相等 \(p^M = \tilde{p}^M\)，振子模独立（\(\alpha^M_n \neq \tilde{\alpha}^M_n\)）。 - **质量平方公式**： \[ M^2 = \frac{1}{\alpha'} \left( \sum_{n=1}^\infty \alpha^M_{-n} \alpha^M_n - a \right) = \frac{1}{\alpha'} \left( \sum_{n=1}^\infty \tilde{\alpha}^M_{-n} \tilde{\alpha}^M_n - a \right) \] 最低激发态为无质量态，包括**引力子**（\(h_{\mu\nu}\)）、**规范玻色子**（\(B_{\mu\nu}\)）和** dilaton**（\(\phi\)）。 ### 三、量子化与物理态条件 - **对易关系**：振子算符满足 \([\alpha^M_m, \alpha^N_n] = m \delta_{m+n,0} \eta^{MN}\)，确保能量动量守恒。 - **Virasoro 约束**：物理态需满足 \(L_0 = \tilde{L}_0\) 和 \(L_n = \tilde{L}_n = 0\)（\(n \neq 0\)），其中 \(L_0 = \frac{\alpha'}{4} p^2 + \sum_{n=1}^\infty \alpha_{-n} \cdot \alpha_n\)，排除负规范态。 - **无质量态**： - 开弦：规范玻色子（如光子，对应 \(n=1\) 态）。 - 闭弦：引力子（自旋 \(s=2\)）、规范场（自旋 \(s=1\)）和 dilaton（自旋 \(s=0\)），对应 \(n=0\) 振子激发。 ### 四、核心结论 闵可夫斯基时空中的弦谱通过**模式分解**和**边界条件**确定，开弦与闭弦的谱结构差异源于边界条件的不同（端点固定 vs. 周期性）。量子化后，弦的质量平方由振子模和截距决定，最低激发态包含无质量粒子（如引力子、规范玻色子），是弦理论统一描述基本粒子和引力的关键。Virasoro 约束确保态的物理性，排除非物理自由度，为弦理论的一致性提供基础。
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